この記事は、ケーラー微分を調べてケーラー微分 - Wikipediaを見ましたが、 $\Omega_{S/R}\cong I/{I^2}$ の説明が難しかったので、自分への備忘録として残しておくものです。

証明1

いきなりですが、たぶん19.ケーラー導分の第二完全系列 - arXiv探訪さんのサイトにある「ケーラー導分の別構成」が一番わかりやすいと思います。導分: $S \rightarrow I/{I^2}$ を構成することで $(\Omega_{S/R},d)$ の持つ普遍性から $\Omega_{S/R} \rightarrow I/{I^2}$ が得られます。この逆写像を与えることで、 $\Omega_{S/R} \cong I/{I^2}$ を示しています。

証明2

良く調べると、この証明にはほかの方法もありました。微分加群と余接層 | もちもちモチーフさんのサイトから飛べるpdfに証明が載っています。 $(\Omega_{S/R},d)$ の持つ普遍性からMについて自然な同型

$\mathrm{Der}_{R}(S, M) \cong \mathrm{Hom}_{S}(\Omega_{S/R}, M)$

が導かれます。（ $\Omega_{S/R}$ が表現可能関手 $\mathrm{Der}_{R}(S, M)$ を表現しているように読み取れそうに感じます。 $\mathrm{Der}$ は $\mathrm{Hom}$ ではないですが... この対応からも、Mについて自然であることが予想されそうでした）そして、Mについて自然な同型

$\mathrm{Der}_{R}(S,M) \cong \mathrm{Hom}_{S \otimes_{R} S}(I,M)$

を示しています。（Webサイトや数学書などで、ところどころ自然性の確認をしていない場合がありますが、確認すべきなのかそうでないのかは個人的に謎です）さらに、テンソルHom随伴から従う係数拡大の随伴性

$\mathrm{Hom}_{R}(I \otimes_{S \otimes_{R} S} S,M) \cong \mathrm{Hom}_{S \otimes_{R} S}(I,M)$

や完全系列（に $\otimes_{S \otimes_{R} S} I$ をテンソル積して得られる完全系列）

$0 \rightarrow I\otimes_{S \otimes_{R} S} I \rightarrow S\otimes_{R} S \otimes_{S \otimes_{R} S} I \rightarrow S \otimes_{S \otimes_{R} S} I\rightarrow 0$